1変数関数 f(x) の定積分に関する置換積分の公式に対応するものを2重積分で考えてみましょう．
いま xy 平面上の領域 
と uv 平面上の領域 
との間に
なる1対1で上への対応 
があり， 
は u,v に関して 
級であるとします．さらに，
は 上で常に0にならないものとします．このとき次の定理が成り立ちます．
ここで用いられた J(u,v) を ジャコビアン(Jacobian) といいます．簡単な例でジャコビアンを説明しましょう．
例えば， が 
で与えられたとします．すると，
と表わせ， が正則行列ならば，逆行列 が存在するので，
ここで， xy 平面上に4点 
を頂点とする長方形を考えます．この長方形の面積は 
で与えられることに注意し，対応する uv 平面上の図形の面積を求めてみましょう．
より
よって， uv 平面上の図形の面積 
は
これより
これがジャコビアンです．
特に極座標 
を直交座標 (x,y) に変換するときは， 
より，
となるので，
解
極座標変換を用いると， 
， また， 
より 
．よって は
にうつる．したがって，
解
極座標変換を用いると 
より は
にうつるので，
[H]
