極限 
を考えるときには， x は 
で定義されている必要はありませんでした．また， 
が と一致する必要もありませんでした．では極限値とそこでの関数の値が等しいときは，どんなときでしょうか．
解
極限値は 
また f(2) = 0 より 
となります．よって f(x) は x = 2 で不連続です．グラフを想像してみると， x = 2 において f(x) の値がジャンプしています．
解 まず，
より
よって演習問題1.3.1-3( 
)より
また f(0) = 0 より f(x) は x = 0 で連続だということがわかります．
関数 f(x) が 
の片側だけで定義されている場合には，上の定義は当てはまりません．そこで，
が成り立つとき， f(x) は で左側連続(continuous from the left) であるといいます．同様に，
が成り立つとき， f(x) は で右側連続(continuous from the right) であるといいます．また， f(x) が区間 it Iのどの点でも連続であるとき， f(x) は区間it Iで連続であるといいます．例えば，整式， 
は区間 
で連続です．また，有理関数は分母が 0 になる点を除いたすべての区間で連続です．
次に連続な関数は，四則の演算を行ってもまた連続であるというすばらしい性質を持っています．
証明
(1) 
より
同様にして(2)，(3)，(4)も証明できます． 定理1.2の証明を参照．
証明
これらのことから分かるように連続な関数は非常に扱いやすい関数です．
解
まず，
は 
と 
の合成関数と考えられ， と はすべての z と 
で連続なので，この定理より は で連続です．また 
は で連続なので定理1.5より で 
は連続となります．
次に連続関数の基本的性質を表わすものとして，中間値の定理(intermediate theorem) と最大・最小値の定理(max-min theorem) とよばれる2つの定理を考えてみましょう．
上の定理にでてきた最大値をとるとはどういうことか確認しておきましょう．
関数 f(x) が区間 [a,b] で最大値をとるとは，次の2つの条件が共に成り立つということです．
に対して， 
となる M が存在する．
となる 
が [a,b] 内に存在する．
この2つの定理がどんなことをいっているのか考えてみましょう． まず連続関数のグラフは2点 (a,f(a)),(b,f(b)) を結ぶつながった曲線で表わされると認めれば，図の上からは明らかでしょう．しかし，連続関数は本当につながった曲線で表わせるのでしょうか．この問題は実数の連続性を基にして初めて証明することができるのです．実数の連続性とは，簡単にいうと実数を大小の順序に並べたとき，実数はどこにも切れめなくぎっしりと並んでいるということです．そこで証明は1.9節にまかせることにして，ここでは実数の連続性を認めたとして話を進めましょう．つまり，連続関数のグラフはつながった曲線で表せると考えます．
解
まず，方程式が解を持つとは，方程式を表わす曲線のグラフが x 軸と共有点を持つということと同じだということを理解してください．つまり曲線のグラフが x 軸に接するか横切ればよいのです．そこで 
とおき， f(x) が負の値と正の値をとるような x の値を適当にとります．例えば， f(-2) と f(1) を計算すると
次に f(x) は [-2,1] で連続なので，点 (-2,-15) と点 (1,6) を曲線で結びます．するとどんなふうに結んでも，必ず x 軸と共有点を持つ点があることが，中間値の定理により保証されます．そこでこの点を とおくと， 
．つまりこの が 
の実数解になります．
ここで重要なのは解が存在することであって，解はどこにあるかではないのです．つまり，解の存在を示すには3次方程式を解く必要はないのです．
[H]
