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オイラー e(Euler e)

数列において，すべての n についてである定数 M が存在するとき，数列は 上に有界(bounded above) であるといい，すべての n についてである定数 m が存在するとき，数列は 下に有界(bounded below) であるといいます．またすべての n についてのとき，数列は 有界(bounded) であるといいます．

解について

となるので有界です．

すべての n についてとなるとき，数列は 単調増加数列(monotonically increasing sequence) であるといいます．同様に，すべての n についてとなるとき，数列は 単調減少数列(monotonically decreasing sequence) であるといいます．

解まず，どうやってとの大小の比較をしたらよいか考えてください．大きさの比較には，基本的に2つの方法があります．1つは差が正か負かを調べます．もう1つの方法は比が 1より大きいか小さいかを調べます．

ここでは比を使って調べてみましょう．より

よって

したがって，より，は単調増加であることがわかりました．

さてこの数列は収束するのでしょうか．数列の極限値が求められる場合は問題ないのですが，この数列のように何に収束するか，それどころか収束するかどうかもわからない場合があります．そんなとき，次の定理は基本です．

この定理の証明も実数の連続性をもとにしています．証明はこの章の最後で示すことにして，とりあえずこの定理が成り立つことを認めて次の問題を考えてみましょう．

解まず，数列が収束することを示します．そのためには数列の基礎定理より，が上に有界な単調増加数列か，下に有界な単調減少数列か示せばよいでしょう．

より，．そこで数学的帰納法を使います．

n = 1 のとき，は成り立ちます．次にを帰納的仮定とすると，

したがって，帰納法によりすべての自然数 n に対して．

次に上に有界であることを示します．

を帰納的仮定とすると，．したがって，すべての自然数 n に対してとなります．よっては上に有界な単調増加数列となりは収束します．

さてこの数列はどんな値に収束するのでしょうか．まずとするととなります．なぜそうなるのか考えてみましょう．は単調増加数列で上に有界なので

が成り立ちます．ここでがに収束することに注意すると，全ての正の数に対して， n > N ならばとなる自然数 N が存在する．よって

となり，もに収束することがわかります．

次に漸化式より両辺の極限値を求めると

ここで，演習問題1.5.1-2よりはで連続であることに注意すると

したがって，

これより

よって，となります．しかしは単調増加でより，．したがって，となります．

ちょっと面倒なやり方ですね．そこで漸化式の極限値の求め方には次のようなものがあります．

証明

より

ここでより．よって．これより

となるので

解この定理を用いるには，数列がある値に収束することを仮定しなければなりません．そこで，がに収束するならもに収束することを用いると

となります．これを解くととなるけれどよりは不可能だとわかります．そこでが極限値であることを示しましょう．

定理1.13よりとなるが存在することを示せばよいでしょう．

ここでより

が示せました．

2項定理(binomial theorem)

解

より，を展開したとき現われる係数は (a + b) をn回かけたときに現われるの回数を数えればよいことが分かります．a は全部で n 個あり，そのうちの j 個を使うので，その組み合わせの総数をと表わすことにします．

ではとは何通りなのでしょうか．数えてみましょう．まず，それぞれの a に番号を1から n までつけたとします．そして n 個の a から j 個の a を1つづつとりだして並べると，最初の a は n 個の中のどの a でもよいので， n通りの選び方があります．次にくるのは n-1 個の中のどの a でもよいので， n-1通りの選び方があります．このようにして全部で通りあることが分かります．これをで表わし， n 個から j 個のもの取り出し順序をつけて並べたときの数，つまり順列の数といいます．しかし，この問題では a はすべて同じものと考えられるので，とりだした j 個の a は並び方に関係がありません．そこで通りのうちa の並び方を無視すると通りの繰り返しがあることが分かります．よって求める組み合わせの総数は