連続関数の基本的性質として，中間値の定理と最大・最小値の定理がありました．では微分可能な関数の基本的性質としてどんなことがいえるのでしょうか．まず，フランスの数学者 Joseph Louis Lagrange (1736-1813) によって初めて証明された平均値の定理から始めましょう．
平均値の定理を証明する前に，平均値の定理はどんなことをいっているのか考えてみましょう． 
は2点 (a,f(a)),(b,f(b)) を結ぶ直線の傾きと考えることができます．すると，
は，2点を結ぶ直線と等しい傾きをもった接線が，区間 (a,b) 内に少なくとも1つあるということになります．ここで f(x) は走っている車の位置を表わしているとし，区間 [a,b] は時間を表わしていると考えましょう．すると は時間 b -a の間に走った距離を表わします．つまり，平均時速を表わしていることになります．では 
は何を表わしているのでしょうか．これは微小時間内の距離の変化．つまり瞬間の速さを表わしています．ちょうどねずみ取りのときに警察が使うレーザーの速度計に現われる車のスピードです．つまり，平均値の定理は平均時速が60kmならば，必ず一回は車のスピードメーターは時速60kmを指したことがあるはずだといっているのです．
次に平均値の定理の特別な場合で フランスの数学者 Michel Rolle (1652-1719) によって1691年に発表された定理を考えます．
証明
最大・最小値の定理より， f(x) は閉区間 [a,b] で最大値と最小値をとる．いま， 
であるような点 
で最大値をとったとすると 
となる．これより，
f(x) は微分可能であるから，両不等式の左辺の極限値は であり，次の2式が成り立つ．
したがって，
もし，最大値が f(a) = f(b) ならば， であるような点で最小値をとるから，いまと同様にして， 
となる．
平均値の定理の証明
Rolleの定理の条件を満たすような関数を作る．2点 (a,f(a)),(b,f(b)) を結ぶ直線を P(x) とすると， P(x) の方程式は
で与えられる．そこで g(x) = f(x) - P(x) とおくと， g(a) = f(a) - P(a) = f(a) - f(a) = 0．また， g(b) = f(b) - P(b) = f(b) - f(b) = 0 となり，Rolleの定理の条件を満たす．したがって，Rolleの定理より，
を満たす が少なくとも1つ存在する．
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