超越関数 f(x) を多項式を用いて表わすことができないでしょうか．もしそうなれば ，整関数さえ知っていれば他の関数のことを知らなくてすむのです．そんな疑問に イギリスの数学者 Brook Taylor (1685-1731) は1712年に答えてくれました．
証明 定数 K を
を満たすようにとり，
とおくと， F(a) = 0, F(b) = 0 となり， F(x) はRolleの定理の条件を満たす．したがって，Rolleの定理より
よって
ここで用いられた 
を Lagrangeの剰余数(Lagrange's remainder) といい，
を Taylorの多項式(Taylor's polynomial) といいます．特に a = 0 とおいて得られる定理を Maclaurinの定理 といい， b = x とおくと
となります．
ここで誤差の限界は
で与えられます．
解
より 
よって
ここで 
が成り立ちます．ところが，
よって
f(x) は x = 0 を含む区間 I で 
級関数とすると，Maclaurinの定理より任意の自然数 n に対して，
が成り立ちます．このとき，もし 
であるならば
と表わせます．この式を f(x) の Maclaurin展開(Maclaurin expansion) ，または x = 0 での Taylor展開(Taylor expansion) といいます．
証明 (1)はすでに例題で行いました．
(2) 
とすると 
より
と表わせる．よって
となる．これより を計算すると
よって
(3)，(4)，(5)の証明は演習問題にまわしますのでやってみましょう．
ここでE.G.H.Landau(1877-1938)によって用いられたちょっと便利な記号を紹介します．例えば関数 f(x),g(x) の間に
が成り立つとき
と表わし，このOをLandauのビッグオー (Landau O) といいます．またl =0のとき，つまり
が成り立つとき
と表わし，このoをLandauのスモールオー (Landau o) といいます．ここでMacLaurinの定理をもう一度みてみましょう．関数fが無限回微分可能だとし，n次の多項式を作ってみます．すると，剰余項 は
で与えられ，f(x)が 級より 
は連続となります．よって
となります．ここでLandauの記号を用いると
となるので，次の定理が成り立ちます．
解
のMacLaurin展開より 
と表わせます．
よって
[H]