不定積分 
を求めるときに，被積分関数 f(x) の原始関数が四則の演算により積分公式(1)から(12)の形に直せないことがよくあります．そんなとき， f(x) dx の x をある t の関数 
に置き換えることにより， f(x) dx を 
という，公式(1)から(12)を用いることにより積分できる形に変形することを 置換積分法(integration by substitution) といいます．
証明
とすると， 
である．そこで 
とおき， 
を考えると，
となるので，
となります．
この定理により， を求めるのに， とその微分 
とをもとの式に形式的に代入し， 
としてこれを計算すればよいことがわかります．
解
このままの形では，公式(1)から(12)のどれも使えないことがわかります．そこで 
とおきます．すると dt = (2x + 1)dx となるので，これを用いて元の不定積分を書き直すと
となります．右辺をよく見てください．これは定理3.2(2)の形でダミー変数 t が用いられています．よって
となります．
この例題に用いたテクニックを一般化すると次の公式を得ます．
この公式を用いると
となります．これを定理3.2(6)と比較すると，
より同じものだとわかります．このように定理3.2の(6)から(12)までの公式は，置換積分を用いることにより定理3.2(2)，(4)，(5)からすべて求めることができることを次の何節かで学びます．
解 t = x+1 とおくと， dt = dx．また x = t - 1 より，
解
とおくと， dt = 2x dx となるので，
[H]
