無理関数の積分は残念ながらいつでも求められるとは限りません．ここでは適当な変換により，有理関数に帰着できるものを扱います．R(x,y) を x, y の有理関数とすると，
解
無理関数の積分は，無理関数を有理関数に変えれればよいので 
とおいてみましょう．すると 
より dx = 2t dt となります．よって
は 
が
または 
のいずれかで表わされます．そこで， 
のときは斜辺が 
となるような直角三角形を考えます．
すると 
より
となり三角関数の有理式の積分に変換できます．
の場合は 
が対辺となるような直角三角形を考えます．
すると 
より
となり三角関数の有理式の積分に変換できます．
解
分母が2乗の差の平方根なので，これが対辺にくるような直角三角形を考えます．
すると 
と表わせるので， 
．また， 
と表わせます．よって
[H]
