不定積分の置換積分と部分積分についてすでに学んだので，ここでは定積分の置換積分と部分積分についての話から始めます．
証明
F(x) を f(x) の原始関数とすると， 
は 
の原始関数である．したがって，微分積分学の基本定理より，
証明
解
とおくと， 
となるので，被積分関数は 
で表わすことができます．また積分範囲は 
のとき， なので 
となります．よって
定積分でよく使われる積分に次のものがあります．
ただし， 
ここで， f(x) が 偶関数(even function) とは 
において， f(-x) = f(x) が成り立つことです．これを f(x) のグラフで考えるとy軸対称となります．また， f(x) が 奇関数(odd function) とは において， f(-x) = -f(x) が成り立つことです．これを f(x) のグラフで考えると原点対称となります．
証明
(1) 
．と表わせるので， f(x) = f(-x) より
ここで， t = -x とおくと dt = - dx．また， 
より 
．よって 
．これより，
(2)，(3)の証明は各自に任せます．
(4) 演習問題3.8.1-2より 
なので 
について証明しよう．
のときは，
よって漸化式
を得ます．ところで，
より，
[H]
