演習問題

1.

任意の角 に対して，次の公式が成り立つことを示そう．

(a)

(加法定理)

(b)

(複号同順)

(c)

(半角の公式)

(d)

(積から和への公式)

(e)

(和から積への公式)

2.

次の値を求めよう．

(a)

(b)

(c)

3.

次の値を求めよう．

(a)

(b)

(c)

(d)

4.

全ての x において， が成り立つことを示そう．

5.

次の公式を導こう．

(a)

(b)

ここで取り上げた関数のほかにも，初等関数とよばれるものに，ベキ関数，指数関数，対数関数，双曲線関数があります．ではなぜこれらを今取り上げないのかといいますと理由があるのです．ちょっとその理由を説明しましょう．例として，ベキ関数を考えます． をベキ関数といいます．ここで は実数です． が整数のときは， x を 回かけるということになり問題ありません． が有理数 のときは， x を p回かけたものの q乗根をとるということになり問題ありません．しかし， が無理数のときはどうでしょう．例えば， のときを考えて下さい． をどう考えたらよいのでしょう．x を 回かけることはできません．なぜなら は と終なく続く数です．ではどう考えればよいのでしょう．実は，いろいろな考え方があるのですが，どれも実数の連続性とよばれる公理を基にしています．つまり， が無理数のときは，有理数のときと違いもう少し体系的に考えていかなくてはならないのです．そこで，いますぐ取り上げず，皆さんが微積分学を理解するのに必要な道具がそろったところで，自然な形であらわれるようにしたいのです．