深さ 2m の井戸にカエルが落ちました．カエルは必死に井戸からでようとしています．一回目のジャンプで1mとびあがり，二回目のジャンプで 
m, 三回目のジャンプで 
m と次々に前回の半分の距離をジャンプしていきました．ここで質問です．このカエルはやがて外にでれたでしょうか．考えてみましょう．まず， 
とおくと， 質問は
はどうなるかと聞いているのと同じです．そこで，
が数列のとき，この数列を用いて新たに数列
を作ります．このとき第n項までの部分和 
を 第n部分和(nth partial sum) といいます．
数列 
は形式的に
で表わされ，これを 級数(series) といいます．数列 
が収束するとき，つまり
であるような実数 S が存在するとき，級数 
は S に収束する(convergent) といい，
と表わし，級数 の和は S であるといいます．また，数列 が収束しないとき，級数 は 発散する(divergent) といいます．
解
より
よって
これより
つまり 
は収束し，その和は S = 1 です．
これを一般化したものに次の定理があります．次の級数は簡単に収束，発散の判定ができるのでよく用いられます．
証明
のとき， 
より発散．よって 
について考えます．
より
よって
解
まず 
を部分分数で書き直してみると，
となります．これより第n部分和 を求めると
これより，
ここで収束する級数すべてにおいて成り立つ定理を示します．
証明
よって
この定理の対偶をとると数列 
が収束しなければ，級数 
は発散することになります．これより，級数の収束，発散を調べるときには，この定理をまず用いてみて下さい．
解
まず， 
を計算してみましょう．
より
よって 
は発散します．
この定理の逆は必ずしも正しくありません．例えば級数
を考えてみて下さい．この場合，数列 
は0に収束しますが，この級数は次に示すように調和級数なので発散します．
証明
まず， 
のとき，
となるので，発散条件よりこの級数は発散します．そこで，p > 0の場合を考えます．
とおくと，
よって， f(x) > 0 は 
で単調減少となるので，
が成り立つ．ここで p > 1 の場合を考えてみましょう．
したがって，
これより 
は上に有界な単調増加数列となるので収束．
また p < 1 の場合
したがって，
最後に p =1 の場合
よって
[H]
