正の項と負の項が交互にあらわれる級数を 交項級数(alternating series) といいます．
ここで，ドイツの数学者 Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) によって示された交項級数が収束するための十分条件を学びます．
証明
この級数の第n部分和を 
とすると，
よって 
は上に有界な単調増加数列となるので収束します．ここで， 
とすると， 
より
となるので， 
は S に収束します．したがって 
交項級数 
はLeibnizの定理の条件を満たしているので収束します．ところがこの級数の各項の絶対値をとって作った級数 
は調和級数となり発散します．このように 
が収束し 
が発散する級数を 条件収束(conditionally convergent) するといいます．また も収束する級数 を 絶対収束(absolute convergent) するといいます．
が収束しても は収束しない場合があることは分かりました．では，その逆はどうなのでしょうか．つまり， が収束して が収束しない場合はあるのでしょうか．ちょっと考えてみて下さい．
証明
の第n部分和を 
， の第n部分和を とおくと，
よって，
となり， が収束すれば， も収束します．
ここで，収束する級数と発散する級数の決定的な違いを調べてみましょう．まず，次のような交項級数を考えます．
この級数は となるので発散条件より発散します．この級数を隣り合った2つの項をかっこでくくって作った級数
を考えてみましょう． この級数は例題4.2より1に収束します．次に同じ級数をかっこをつける場所を変えてくくってみましょう．
このように，かっこをつける場所を変えると異なる値に収束するのは，発散する級数の特徴なのです．収束する級数は数列の順序を変えても同じ値に収束します．
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