関数の極限の話の前に，ギリシャの韋駄天Achillesとtortoiseの話をします．この話はZenon(B.C490-429)の逆説として人々を悩ませました．いろいろなかたちで伝わっていますが，ここではこれから極限を習うことを前提にした話にします．あるときAchilles(アキレス)がtortoise(カメ)を追いかけていました．アキレスがカメのいた位置に来たときにはカメはどんなに遅くともいささか前に進んでいます．次にアキレスがカメがいた位置に来たときには，またいささかでもとにかく前に進んでいます．この調子なので，アキレスはカメに追いつくことはできない，というのが，Zenonの逆説です．アキレスはカメに追いつけるのでしょうか．考えてみて下さい．
関数 f(x) において， x を 
に限りなく近づけていくとき， f(x) がある定数 l に限りなく近づくならば， l を x が に近づくときの f(x) の 極限値(limit) といい，
で表わします．
さて，ここで限りなく近づくというのはどういうことでしょうか．x が に限りなく近づくとは，絶対値 
を限りなく小さくできるということと同じだと考えてもよいでしょう．同様に， f(x) が定数 l に限りなく近づくということも |f(x) - l| を限りなく小さくできることだと考えてもよいでしょう．そこで，限りなく小さくできるということで考えてみると，どんな小さな正の数を比較の相手と選んでも，それよりも小さくできるならば，限りなく小さくできるといえるのではないでしょうか．この考え方が数学でいうところの限りなく小さいということなのです(納得しましたか?)．これを用いて関数の極限をもう一度定義します．
解
どんな 
に対しても， 
のとき 
が成り立つような 
が存在することを示せばよいでしょう．そこで， |2x-2| と |x-1| を比較すると
よって， 
と選ぶと のとき
となります．
解
どんな に対しても， のとき 
が成り立つような が存在することを示せばよいでしょう．そこで， 
と |x-1| を比較すると
となります．そこでまず， 
とおくと
|x - 1| < 1 より |x + 1| < 3 がいえるでしょう(確かめて)．次に
となるには |x + 1| < 3 より 
と選ぶ必要がでてきます．よって 
. つまり を 
と 
の小さいほうとなるように選ぶと, 
のとき
となります．
を定義にもとづいて証明するのは簡単ではありませんでした．そこで定義を使わずに極限値を求められるようになるように，次の定理を学びます．
証明
(3)の証明． どんな に対しても 
のとき， 
が成り立つような 
が存在することを示せばよいでしょう．
ここで， 
より，どんな に対しても，
(i) 
のとき， |f(x) - l| < 1 となる 
が存在する．
(ii) 
のとき， 
となる 
が存在する．
(iii) 
のとき， 
となる 
が存在する．
よって 
とすると，
のとき，
となる．
解
．よって定理1.2より
となります．
解
まず， 
のとき， 
．また 
．つまり，分子，分母とも x - 2 を共通因子に持っていることが分かります．そこで分子，分母から x - 2 をくくりだすと
実際に極限値を求めるには上の定理だけでは不十分です．例えば， 
の極限値は定理1.2からは求められません．そんなとき便利なものに，次のようなものがあります．
証明
どんな に対しても， のとき， 
が成り立つような が存在することを示せばよいでしょう．
より，どんな に対しても が存在し， のとき， 
である．
同様に， 
より，どんな に対しても が存在し， のとき， 
である．よって 
とおくと，
より， のとき， が成り立つ．
解
図1.7 において原点をOとし，単位円の周上に 
を取り， OP の延長線と OA に垂直な線の交点を B とします．またP から下ろした OA への垂線と OAの交点を Cとします．そのとき，面積を比較すると 
が成り立ちます．ここで，
に対して，
よって
となります．また，この不等式は 
についても成り立ちます．さて，何を行ったかというと， 
を2つの関数ではさみつけました．そして をはさむのに用いた 
と 
の 
のときの極限値を調べると1になることが分かります．よって間にはさまれた も のときに1に近づくのではないか，というのがはさみうちの定理なのです．よって
[H]
