1変数の極値については3章で学びました．ここでは2変数の極値について考えてみます．
変数のとき関数 f(x) が 
で極値をとれば 
が存在し，かつ 
，または は存在しないのどちらかでした．2変数でも同じようなことがいえるか考えてみましょう．
証明
x だけの関数 
は で極値をとるから， 
または 
は存在しない． 同様に 
または 
は存在しない．
解
f(x，y) が 
で極値をとるとすれば
これを 
について解くと
つまり f(x,y) は点 
で極値をとる可能性があることが分かりました．しかし，これが極小値なのか極大値なのかさらに調べてみなければなりません．
そこで，2変数の関数の極値の判定には次の定理があります．
この定理を証明するのに2変数関数のTaylorの定理を用います．
証明
とおくと， F(t) は t の 
級関数であるから，1変数関数のTaylorの定理より
となる．ここで 
とおくと
したがって，
を示せばよい．そこで数学的帰納法を用いる．m = 1 はすでに成り立つので， m-1 まで成り立つと仮定すると
が成り立つ．
やっと2変数の極値に関する定理の証明ができます．
証明
Taylorの定理より， 
に対して
が成り立つ．ここで 
とおくと， 
より
次に， 
とおくと，
の符号は 
の符号によってきまる．ここで
に注意しておく．
のときは， f(x,y) が 
級の関数であるから |h|,|k| が十分に小さく，しかも同時に0とならないならば，どのような h,k をとっても
よって 
は極小値となる．
のときは， f(x,y) が 級の関数であるから |h|,|k| が十分に小さく，しかも同時に0とならないならば，どのような h,k をとっても
よって は極大値となる．
次に 
の場合を考える．もし 
ならば 
とできるが，
とおくと， 
のとき，
ここで 
だから， Q は t により正にも負にもなる．
この定理を使って先ほどの問題を解いてみます，
解
となるので 
は極小値になります．
[H]