x を 
に近づけるとき，特に 
という制限があるときには， x は より小さい値をとりながら に近づくので，これを 
または 
と表わします．同様に， x が より大きい値をとりながら， に近づくとき，これを 
または 
と表わします．
のときに， f(x) がある定数 l に限りなく近づくことを
と表わし， l を f(x) の における左側極限値(left-hand limit) といいます．同様に， のときに， f(x) がある定数 l に限りなく近づくことを
と表わし， l を f(x) の における右側極限値(left-hand limit) といいます．
解
x が左側から0 に近づくと， x は常に0より小さいので x < 0．よって 
となります．つまり，
また， x が右側から0 に近づくと， x は常に0より大きいので x > 0．よって 
となります．つまり，
となります．
ここまでの極限値の問題には常に極限値が存在しました．しかし極限値はいつも存在するのでしょうか．もし存在しないのなら，どうやってそのことを説明したらいいのでしょうか．そんな質問に次の定理は答えてくれます．
証明 各自に任せます．
この定理より 
と 
が存在し，かつ等しいときに限り f(x) の極限値が存在するといえます．つまりそれ以外の場合には極限値が存在しません．
解
より，左側極限値と右側極限値は等しくないので 
は存在しません．
x が に限りなく近づくとき， f(x) の値が限りなく大きくなる場合には，
x が に限りなく近づくとき， f(x) の値が負となりその絶対値が限りなく大きくなる場合には，
と表わします．ここで限りなく大きくなるとは，どんな大きな実数 M が与えられても， x がある実数 N より大きいとき， f(x) > M となるということです．
また， x が限りなく大きくなるとき， f(x) の値が l に限りなく近づくならば，
と表わします．
[H]