方程式 3x + 2y + 1 = 0 から， x の関数としての yつまり 
を考えることができます．一般に2変数関数 f(x,y) に対して，1変数関数 y = g(x) が常に f(x,g(x)) = 0 を満たすとき， y = g(x) を方程式 f(x,y) = 0 から定まる陰関数(implicit function) といいます．
f(x,y) = 0 から定まる陰関数 y = g(x) を求めることは， f(x,y) = 0 を y について解くことと同じです．しかし f の形によっては，ある x の値に対して， f(x,y) = 0 を満たす y の値は1つもないことがあります．そこでどんな場合に陰関数が存在するかが問題になります．これについて，次の定理があります．
つまり， 
となる点の近くでは(1)を満足する陰関数 y が存在し．さらに x に関して微分可能であることが証明されています．だから(1)の両辺の全微分をとると
したがって条件 
により
と形式的に(3)を導き出すことができます．さらに上の式を x について微分すると
ここで
を用いると
となります．
解
とおき， f(x,y) の全微分を求めると，
したがって，
また
なので，
となります．
2変数関数のときと同じように3変数関数 f(x,y,z) において，
から定まる x，y の陰関数 z = g(x,y) について考えることができます．
解 f(x,y,z) = xy + yz + zx - 1 の全微分をとると
なお z = g(x,y) より
よって
ここで x と y は独立変数であることに注意すると，
となります．
次に2つの式 f(x,y,z) = 0, g(x,y,z) = 0 から y，z が x の陰関数として定まる場合について考えてみましょう．
解
とおき，全微分をとると，
これより dz を消去すると
したがって，
同様にして，dy を消去すると
したがって，
となります．
[H]