5.3 実積分への応用

1．

(a)

$$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x^2 + x + 1} dx$$

より 閉曲線$C$を実軸上の$-R$と$R$を結ぶ直線と$R$と$-R$を結ぶ半径$R$，中心0の曲線$C_{R}$とすると，

$$\int_{C}\frac{1}{z^2 + z + 1} dz = \int_{-R}^{R}\frac{1}{x^2 + x + 1} dx + \int_{C_{R}}\frac{1}{z^2 + z + 1} dz$$

と表わせる．ここで， $\int_{C}\frac{1}{z^2 + z + 1} dz$を求めると，特異点は $z = \frac{-1 \pm \sqrt{3}i}{2} = e^{-\frac{2\pi i}{3}}$であるが， $z = \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2} = e^{-\frac{2\pi i}{3}}$だけが曲線$C$の内部にあるので，留数定理により

$$\int_{C}\frac{1}{(z^2 +1)(z^2 +4)} dz = 2\pi i(Res[e^{-\frac{2\pi i}{3}}])$$

で求まる．なお，

$$Res[\frac{-1 + \sqrt{3}i}{2}] = \lim_{z \to \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2}}(z - \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2})\frac{1}{z^2 + z + 1}$$

$$= \lim_{z \to \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2}}\frac{1}{2z + 1} = \frac{1}{\sqrt{3} i} (ロピタルの定理より)$$

より

$$\int_{C}\frac{1}{z^2 + z + 1} dz = 2\pi i(\frac{1}{\sqrt{3}i}) = \frac{2\pi}{\sqrt{3}}$$

次に， $\int_{C_{R}}\frac{1}{z^2 + z+ 1} dz \rightarrow 0 (R \to \infty)$を示せれば，

$$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x^2 + x + 1} dx = \int_{C}\frac{1}{z^2 + z + 1} dz = \frac{2\pi}{\sqrt{3}}$$

となり，実積分を求めたことになる．そこで $\int_{C_{R}}\frac{1}{z^2 + z+ 1} dz \rightarrow 0 (R \to \infty)$を示す．

$$\vert z_{1} + z_{2}\vert \leq \vert z_{1}\vert + \vert z_{2}\vert, \vert z_{1} - z_{2}\vert \geq \vert z_{1}\vert - \vert z_{2}\vert$$

であることに注意すると

$$\vert z^2 + z + 1\vert = \vert z^2 - (-z-1)\vert \geq \vert z^2\vert - \vert-(z+1)\vert = \vert Z^2\vert - \vert z\vert -1 = R^2 - R -1$$

より

$$\vert\frac{1}{z^2 + z + 1}\vert \leq \frac{1}{\vert z^2\vert - \vert z\vert -1}$$

$$\leq \frac{1}{R^2 - R -1} \to 0 (R \to \infty)$$

(b)

$$\int_{0}^{\infty}\frac{1}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} dx = \frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} dx$$

より 閉曲線$C$を実軸上の$-R$と$R$を結ぶ直線と$R$と$-R$を結ぶ半径$R$，中心0の曲線$C_{R}$とすると，

$$\int_{C}\frac{1}{(z^2 + 1)(z^2 + 4)} dz = \int_{-R}^{R}\frac{1}{(x^2 +1)(x^2 +4)} dx + \int_{C_{R}}\frac{1}{(z^2 + 1)(z^2 + 4)} dz$$

と表わせる．ここで， $\int_{C}\frac{1}{(z^2 +1)(z^2 +4)} dz$を求めると，特異点は $z = \pm i, \pm 2i$であるが，$z = i, 2i$だけが曲線$C$の内部にあるので，留数定理により

$$\int_{C}\frac{1}{(z^2 +1)(z^2 +4)} dz = 2\pi i(Res[i] + Res[2i])$$

で求まる．なお，

$$Res[i] = \lim_{z \to i}(z - i)\frac{1}{(z^2 + 1)(z^2 + 4)} = \lim_{z \to i}\frac{1}{(z+i)(z^2 +4)} = \frac{1}{2i(3)} = \frac{1}{6i}$$

$$Res[2i] = \lim_{z \to 2i}(z - 2i)\frac{1}{(z^2 + 1)(z^2 + 4)} = \lim_{z \to 2i}\frac{1}{(z^2 + 1)(z + 2i)} = \frac{1}{-3(4i)} = \frac{-1}{12i}$$

より

$$\int_{C}\frac{1}{(z^2 +1)(z^2 +4)} dz = 2\pi i(\frac{1}{6i} - \frac{1}{12i}) = 2\pi i (\frac{1}{12 i}) = \frac{\pi}{6}$$

次に， $\int_{C_{R}}\frac{1}{(z^2 + 1)(z^2 + 4)} dz \rightarrow 0 (R \to \infty)$を示せれば，

$$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{(x^2 +1)(x^2 +4)} dx = \int_{C}\frac{1}{(z^2 + 1)(z^2 + 4)} dz = \frac{\pi}{6}$$

となり，実積分を求めたことになる．そこで $\int_{C_{R}}\frac{1}{(z^2 + 1)(z^2 + 4)} dz \rightarrow 0 (R \to \infty)$を示す．

$$\vert z^2 + 1\vert = \vert z^2 - (-1)\vert \geq \vert z^2\vert - \vert-1\vert = \vert Z^2\vert - 1 = R^2 -1$$

$$\vert z^2 + 4\vert = \vert z^2 - (-4)\vert \geq \vert z^2\vert - \vert-4\vert = \vert z^2\vert - 4 = R^2 - 4$$

より

$$\vert\frac{1}{(z^2 + 1)(z^2 + 4)}\vert \leq \frac{1}{\vert z^2 + 1\vert\vert z^2 + 4\vert}$$

$$\leq \frac{1}{R^2 -1}\frac{1}{R^2 - 4} \to 0 (R \to \infty)$$

(c) 工事中