ポワソン分布

次の１〜５の条件を満たすものをポワソン過程という。

1. 事象はいかなる時点でもランダムに発生しうる。
2. 与えられた時間区間での事象の発生は，それと重複しない他の区間に対して独立である。
3. 微小時間$\Delta t$における事象の発生確率は$\Delta t$に比例して小さくなっている。
4. 微小時間$\Delta t$の間に事象が２回以上発生する確率は無視できる。
5. 時間$t$の間に当該事象が発生する平均発生回数$\lambda$がおおむね５以下である。

$X$をポワソン過程における事象の発生回数とすると，

$$P_{r}(X = r) = \frac{\lambda^{r}}{r!}e^{-\lambda}$$

となり， $X \sim P_{o}(\lambda)$と表す。ただし，$\lambda$はポワソン過程における事象の平均発生回数。

ポワソン過程には，テープの傷，交換台にかかってくる電話，電球の破損，タクシー待ちなどがある。

演習問題 4.2  

1. 交通事故による死亡者が1日平均0.8人であるとき，次の確率はいくらか．

(a)

死亡者0の日．

(b)

死亡者6名以上．

2. ある放射性物質から1秒間に放出される粒子の数は平均して3個である．1秒間に0，1，2，3，4，5，6個の粒子が放出される確率を求めよ．1秒間に少なくとも1個の粒子が放出される確率はいくらか．

3. ある磁気テープには，平均して100mあたりに2個の傷があることが分かっている．このとき，300mの長さのテープ一巻中に傷が全くない確率を求めよ．

問題解答

1. $X$を1日における交通事故の数とすると，交通事故という事象は，ポワソン過程である。よって，一日での事象の平均発生回数$\lambda$は0.8となる。

死亡者0の日とは， $P_{r}(X = 0)$を求めることになる。よって，

$$P_{r}(X = 0) = \frac{0.8^{0}}{0!}e^{-0.8} = 0.4493$$

死亡者6名以上の日とは， $P_{r}(X \geq 6)$を求めることになる。よって，

$$P_{r}(X \geq 6) = 1 - P_{r}(X \leq 5)$$

$$P_{r}(X = 0) = \frac{0.8^{0}}{0!}e^{-0.8} = 0.4493$$

$$P_{r}(X = 1) = \frac{0.8^{1}}{1!}e^{-0.8} = 0.3595$$

$$P_{r}(X = 2) = \frac{0.8^{2}}{2!}e^{-0.8} = 0.1438$$

$$P_{r}(X = 3) = \frac{0.8^{3}}{3!}e^{-0.8} = 0.0383$$

$$P_{r}(X = 4) = \frac{0.8^{4}}{4!}e^{-0.8} = 0.0077$$

$$P_{r}(X = 5) = \frac{0.8^{5}}{5!}e^{-0.8} = 0.0012$$

これより，

$$P_{r}(X \geq 6) = 1 - 0.9998 = 0.0002$$

2. $X$を放射性物質から1秒間に放出される粒子の数とすると，粒子の放出はポワソン過程である。よって，一秒間での事象の平均発生回数$\lambda$は３となる。これより， 一秒間に0個の粒子が放出される確率は

$$P_{r}(X = 0) = \frac{3^{0}}{0!}e^{-3} = 0.0498$$

同様に，

$$P_{r}(X = 1) = \frac{3^{1}}{1!}e^{-3} = 0.1494$$

$$P_{r}(X = 2) = \frac{3^{2}}{2!}e^{-3} = 0.2240$$

$$P_{r}(X = 3) = \frac{3^{3}}{3!}e^{-3} = 0.2240$$

$$P_{r}(X = 4) = \frac{3^{4}}{4!}e^{-3} = 0.1680$$

$$P_{r}(X = 5) = \frac{3^{5}}{5!}e^{-3} = 0.1008$$

$$P_{r}(X = 6) = \frac{3^{6}}{6!}e^{-3} = 0.0504$$

最後に，1秒間に少なくとも1個の粒子の放出は， $P_{r}(X \geq 1)$で与えられ，

$$P_{r}(X \geq 1) = 1 - P_{r}(X < 1) = 1 - P_{r}(X = 0) = 1 - 0.4493 = 0.5407$$

3. $X$をテープの傷の数とおくと，300m中の傷の数の平均は6となり $X \sim P_{o}{6}$．よって300mの長さのテープ一巻中に傷が全くない確率は

$$P_{r}(X = 0) = e^{-6}\frac{6^{0}}{0!} = e^{-6} = 0.0025 .$$