統計量と標本分布

母集団からの大きさ$n$の無作為標本 $X_{1},X_{1},\ldots,X_{n}$とするとき，各変数は母集団の分布と同じ分布に従う確率変数と考えられる。これを標本確率変数 とよぶ。ここで，母平均値$\mu$，母分散 $\sigma^{2}$が存在するものとすると，標本確率変数 $X_{i}(i = 1,2,\ldots,n)$は互いに独立に母集団に従う。よって，

$$E(X_{i}) = \mu, V(X_{i}) = \sigma^{2}$$

である。ここで，標本 $X_{1},X_{2},\ldots,X_{n}$を用いて母平均と母分散を推定することを考える。

まず，素朴に考えて， $X_{1},X_{2},\ldots,X_{n}$を$n$個のデータの集まりとして，その平均と分散を求めると，

$\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}$,	標本平均
$S^{2} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_{i} - \bar{X})^{2}$,	標本分散

となる。

演習問題 5.1  

1. $\bar{X},S^{2}$は母平均$\mu$, 母分散 $\sigma^{2}$を推測するのに適当な統計量だろうか。ここで，統計量とは標本確率変数$X_{i}$の関数のことである。

問題解答

I. 正規母集団 $N(\mu,\sigma^{2})$から無作為で抽出した標本$X_{i}$は，母集団と同じ正規分布に従っていると考えられる。よって， $E(X_{i}) = \mu$である。これより，

$$E(\bar{X}) = E(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}E(X_{i}) = \mu$$

したがって，$\bar{X}$は母平均を推測するのに適当な統計量である。

次に， $S^{2} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_{i} - \bar{X})^{2}$と定義すると， $S^{2} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{2} - \bar{X}^{2}$となる。

$$E(S^{2}) = E(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{2} - \bar{X}^{2})$$

$$= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}E(X_{i}^{2}) - E(\bar{X}^{2})$$

$$= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}[V(X_{i}) + (E(X_{i}))^{2}] - [V(\bar{X}) + (E(\bar{X}))^{2}$$

$$= \sigma^{2} + \mu^{2} - \frac{1}{n}\sigma^{2} - \mu^{2}$$

$$= \frac{n-1}{n}\sigma^{2}$$

より，$S^{2}$は母分散を推測するのに適当な統計量ではない。